寫這些東西的快感有三：
1. 以我的小日子致敬偉大
2. 認識世界
3.（仰望或）見證天才，和天才中的天才，天才中的天才中的天才
想到這還可以再加一個
4. 同時看著天才活在人間
第二次數學危機：貝克萊悖論
回到 1734 年貝克萊在1734年曾出版過一本書名極長的書《A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician: Wherein It Is Examined Whether the Object, Principles, and Inferences of the Modern Analysis Are More Distinctly Conceived, or More Evidently Deduced, Than Religious Mysteries and Points of Faith（一篇致一位不信神數學家的論文：文中審查近代分析學的對象、原理與推論，是否比宗教奧義及信仰要點，有更清晰的表達，或更明確的推理）》來批評牛頓的微積分，認為那是依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果。他的批判可以總結為「貝克萊悖論」，意圖追問無窮小量究竟是不是0——增量有時候像0，作為增量可以忽略不計；有時候又不像0，可以做除數。
第二次數學危機的結果是：柯西（A. L. Cauchy）和魏爾斯特拉斯（K. Weierstrass）等人建立了極限理論，為微積分奠定了嚴格的基礎；同時，該次危機也促進了19世紀的分析嚴格化、代數抽象化以及幾何非歐化的進程。陳波（2017）P131
第三次數學危機：羅素悖論
回到 1901 年羅素在1901年發現了對於樸素集合論（naive set theory）的悖論，將之定義為S = {x | x ∉ x}（S是一個集合，它包含所有「不屬於自己」的集合x），若用S套入x就會得出悖論性結果：S ∈ S ⇔ S ∉ S。
可用自然語言先整理一下S的性質：
- 正常集合：例如，「所有英文字母的集合」
S不是「一個英文字母」x，故這類集合的特點是，集合本身不能作為自己的一個元素。 - 非正常集合：例如「所有非人的事物的集合」
S本身也是「一個非人的事物」x，這類集合的特點是，集合本身可以作為自己的一個元素。
若抬高到二階來看，則會導出悖論：S為「所有正常集合的集合」，那S是否也為一個正常集合？
- a. 設
S為正常集合，則S（=所有正常集合的集合）就應該包含自身，但也因此導致S成了非正常集合。 - b. 設
S為非正常集合，則S（=所有正常集合的集合）不會包含自身，但也因此導致S成了正常集合。
由此可看到不論走a或b皆會得到悖論性結果：S ∈ S ⇔ S ∉ S。
這即是「羅素悖論」，羅素僅使用了少數幾個最基本的邏輯概念、集合、屬於關係等，其中沒有任何技術上的錯誤，因此引起了當時邏輯界和數學界的震驚，導致了所謂「第三次數學危機」。P147
對此，避免悖論的建設性方案在後來也被提出來了，主要有
- ZF(C)系統：並非由任一性質都能決定一個集合，而只能在已經形成的集合中由其內含的性質分離出一個新的集合。這理論是在1908年策梅羅系統的基礎上，經柯倫、佛蘭克爾、馮·諾伊曼等人的改進所建立的公理化系統。P163
- NBG(C)系統：認為悖論發生的根源在於，讓過大的集合做其他集合或是它自身的元素，因此得出具體做法：區分「集合（set）」和「真類（proper class）」，集合可以作為其他集合的元素，真類則不能。 這是馮·諾伊曼在1925年提出的系統，後經貝爾納斯（Paul Bernays）1937-54年間發表的論文做進一步改善，1940年哥德爾（Kurt Gödel）對前兩位的系統做了新的表述，得到現在通稱NBG的系統。P169
- NF和ML系統：皆出自蒯因（W. V. O. Quine）。NF系統是透過定義「初始符號」、「形成規則」、「公理」4條及「推理規則」2條，建構一個判斷是否有意義的集合論公理系統，簡單可以理解成他定義了一套集合論的「自恰的程式語言」。在1940年《數理邏輯》提出的ML系統，則是NF的擴充，有人評論說，ML在語法上是完美的，其基本裝置驚人地簡單和雅緻：變數不分等級類層，並且只包含3個初始符號（分別用於真值函項、量化、類屬關係）。P173
參考資料
陳波（2017）《悖論研究（第二版）》北京大學出版社